数学与真理
胡荫亭
我父亲胡恩德在香港大学入学试的成绩,是当时全香港的前五名内;然而就在那时患了肺病,所以没有进大学。但他看很多书,天文地理无所不识。我们兄弟姊妹从小与他逛街,他沿途就会告诉我们这是什么树,那是什么鸟……,增进我们不少知识。我自己对文理科都有兴趣,中学时每年得到很多奖,毕业后是数学家。
美丽的数学
现在有不少人说数学怎样怎样美丽,他们做出不少方程式。数学确实有很多非常美丽的定理;但我觉得不应从拼凑和数字排列方面,而是必须从真正的数学来着眼。我的意思是,结果应该是出人意外、神奇的,不须人手堆砌而成的。这样的情况在算术和初级代数里面差不多看不到,但是在初级几何里却比比皆是。譬如任何一个
三角形ABC:(图一)
图一
D、E、F是在三角形三条边上任意三点。那么在一般情况下,AD、BE、CF三条线段不会在同一点上相交的;但是如果D、E、F都是三条边的中点,那AD、BE、CF就会有共同交点了。
另外,如果AD、BE、CF与三角形的三条边垂直,AD、BE、CF三线也会有共同交点。
此外,如果AD、BE、CF是三个角的分角线,AD、BE、CF也会有共同交点。
这是非常出人意料的结果,让人看到当中有公理和规律。
数字的结果当然也有美丽的。瑞士大数学家欧勒(Euler, 1707-1783)发现了很多不可思议的数学定理,如图二的定理是我佩服得五体投地的一条。
图二
这是很难证明的,非要用到傅里叶级数或是复函数这样的高等数学。如果有人问我什么是美丽的数学,这就是我提供的例子。
欧勒是信仰纯正的基督徒,相信圣经都是上帝所默示的。以下是他的话(注):
“使徒与早期基督徒异口同声宣告基督从死里复活;他们见过祂,并与祂说话。如果一个人(心中)有一点亮光,也略为思想过他所信的道理,考虑到这些道理有人证明是前后一致的,他就不可能认为使徒与早期基督徒不真信基督复活,只是骗人而已。要是说使徒有精神病,(同时)幻觉中看到基督复活,那就更加不可能。 ”
欧勒那个时代,很多大数学家都是基督徒。最著名的是伯努利一家(Bernoullis)。他们本是法国人,因受当时天主教的逼害,逃到瑞士,在那里生根。最先做数学家的是雅各伯努利(Jakob Bernoulli, 1654-1705)。他是在牛顿、莱布尼兹发明微积分后,开发数学分析这个新领域的先锋。他研究时发现对数螺线有很多奇妙的性质。
把这条曲线变换后,往往出来的还是对数螺线。例如把螺线从中心一直放大(图三),螺线的样子并不改变,而只是好像在围绕中心而旋转。缩小也是一样。还有,对数螺线的渐屈线、渐伸线、垂足曲线都是对数螺线。所以雅各伯努利要人在他墓碑上面刻一条对数螺线,用拉丁文写着Eadem mutataresurgo,意思是:“复活后我虽然改变了,但我仍然是我。”很可惜,刻墓碑的人不懂数学,结果刻错成了一条阿基米德螺线(图四)。
图三
图四
数学须要求证
数学有一个非常重要的作用,就是思想训练,每一件事都要提供证明。这对于思想训练非常要紧。有些人相信星座之类的东西,但好的数学家要问的是:你怎么证明这些是可信呢?
数学不只是计算和数字运算而已,这只是数学的一部分。数学还有很多别的东西,例如:几何、数学分析、拓扑学等。数学最基本的一样东西,是你要证明你的结果;所以数学就是要证明,那就要看你怎么证明,例如几何定理。当然,数字也须证明,不过,小学算术还没到须证明的程度。到了中学,做普通几何、三角、大代数、解释几何等,都一定要证明。可见加减乘除不是数学最重要的东西。
很多学生不喜欢或是害怕数学的原因,大多数是因为以前的老师教得不好,基础没有打好。我的建议是,参考一些趣味数学之类的书刊,提高自己的兴趣;不过最重要的还是打好基础。首先是回想自己究竟是哪一个阶段出了问题,然后回到那个阶段,认真做习题,再没有其他方法,必须做习题,从最容易的开始。数学是从基础上一层一层地建筑上去的,如果算术不好,就不能学到代数。代数不好,就不能做解析几何。
信心对数学也异常重要。有信心,很难的数字题也会做得出。我在中学时觉得几何很讨厌、很难,因为没有系统的解题方法,有的题目我想了很久,仍找不到答案。后来我自学微积分,虽然微积分与几何没什么关系;但因为我学会了,有信心了,而且数学生命成熟了,结果回头看几何习题的时候,发现一眼就可以看出证明的方法。所以大家不要气馁,更不要害怕数学。花点时间,重新打好基础,在哪里跌倒,就在那里站起来。数学非常重要,不要做数盲。
有些事无法证明
数学本身是研究抽象的东西,最重要的是不能说空话,要讲证明。由于数学常要证明,当我们要证明一些东西时,就知道一定有些公理在其中。
但是,公理是不可以证明的。诚实的数学家必明白,当我们证明一些东西时,是要根据一些不能证证明的东西,这就是“信”(Faith);换言之,一定要相信(Faith)某些东西,才知道有些东西不可以证明。这些不可以证明的东西,可从日常最普遍的自然事物中观察出来,例如:两点之间只可以有一条直线通过,不可能有两条直线通过。
以上所言,好像很明显是从自然来的,这与我们相信圣经真理是不同的。相信圣经真理,是相信有创造天地万物的独一主宰,相信耶稣基督是我们的救主。这个“信”(Faith)是有生命在其中的;而数学只不过是我们头脑的东西,是没有生命的。圣经说:“凡接待祂的,就是信祂名的人,祂就赐他们权柄,作上帝的儿女。 ”(约翰福音一12)这个“信”与学术方面的“信”不同,不可以相提并论,根本是两回事。
我自己信耶稣是很自然的事,完全没有挣扎。从小已知道耶稣为我死,我是罪人,需要耶稣基督拯救。一直以来都是这样相信,从来没有为此挣扎。即使我是读数学的,熟习逻辑推理,也没有因此而怀疑所信之道。由于父亲老早已替我们打好信仰的根基;所以我从小就知道科学不等于真理。
科学不等于真理
科学里面有很多假设。很多人以为科学就等于真理,其实不然。如我在上面说过,逻辑推理必须基于一些不能证明的公理。科学也是这样,必须基于某些假设。譬如:宇宙是有理性的,我们可以用理性去明白宇宙的事物。为何如此?这是没有理由的。如果推翻了这个假设的话,我们就根本什么都不能理解。
另一个假设是,从古到今,在这无穷大的宇宙里面,科学的定律都是到处不变、永远相同的,一万万年前如此,到今日也是如此;在地球是如此,在几百万光年以外也是如此。这件事,你如何知道是真的呢?我们不知道几百万光年外的星球是怎样的,也不知道几亿年后的地球是怎样的。如果没有这个假设,我们所知的只不过是我们现在周围的东西,不能推而放诸四海而皆准地说:“什么时候这定律都是对的。”我们信上帝的人相信,上帝把宇宙造得有理性,有种种恒久的定律;但是因为定律是上帝创造的,祂也可以行神迹打破这些定律。我们从小就听家父的教诲,所以当科学与圣经冲突时,我们仍坚信圣经是对的。(这里有一点很重要:不要误解圣经说的话,以致以为在某些方面科学与圣经抵触。)譬如宇宙有多老?现在科学家说是有几百亿年。那是不是与上帝七日创造天地有冲突呢?其实,上帝创造这世界时,不一定说这世界等于现在的零岁;祂可能造这宇宙时,已经是一个好像有几亿年历史的宇宙一样。正如上帝造亚当,不是造一个婴儿,是造一个成年人,使他管理看守伊甸园。那么,上帝创造宇宙同样可以造一个成年的宇宙,而不是造一个零岁的宇宙。如此看来,这些事情根本与圣经没有什么冲突;只不过人们不相信有创造主,所以产生进化论之类的理论。
最要紧是认识上帝
最重要的一样事情,就是生命的问题。即使讲很多理论也是没用的。你怎知道这些理论能改变你的生命呢?最重要的是有圣灵的光照和引导,使你从心里面真知道祂。我父亲讲道很喜欢讲以弗所书一章17节的一句话:“使你们真知道祂。”就是在心里能看得见上帝,与祂有直接的关系。当你有了上帝的生命,知道你与上帝有关系时,其他事情就不那么重要了。你既然认识了真神,相信祂真正在你身边的时候,纵使别人成天对你讲无神论,也不会对你构成影响。所以最要紧的事情,就是你的信仰和你的生命、你与上帝有关系、你的生命是否因为你对真神的信仰而有所不同。深愿读者们好好思想这个问题。
(余黄国凯采访)
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